GeoGebra es un software libre que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo para hacer, enseñar y aprender matemática. En permanente desenvolvimiento por equipos inter-universitarios internacionales, parte del desarrollado de Markus Hohenwarter en la Universidad de Salzburgo, que hace años lo dirige desde la de Florida. Actualmente disponible en decenas de idiomas, el castellano fue el primero que se sumó al alemán e inglés, gracias a la participación del Centro de Investigación Babbage (su directora, Liliana Saidón, es además, la responsable del Foro Hispanoparlante). GeoGebra es un sistema ampliamente dinámico: no sólo las construcciones geométricas (puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas, lugares geométricos…) se relacionan en vínculos recíprocos sino también las funciones, sus gráficas, formulaciones y ecuaciones. Las modificaciones y/o redefiniciones desencadenan vivas realimentaciones en todos los “objetos” inter-determinados. El estudio experimental de lo afín y lo variable, completa el tratamiento algebraico con el analítico a través de los del cálculo: derivadas, integrales de funciones y todo un repertorio de recursos: los “clásicos” (para identificar puntos singulares, como raíces y/o extremos), los trigonométricos y hasta las funciones o comandos “de usuario”. GeoGebra nos permite llevar lo desarrollado a “applets” de Java; exportara formatos gráficos y de publicación (alternativa ideal para la producción de guías impresas) y hasta la edición en Látex.
La interfase registra los “objetos” en presentaciones, formulaciones y re-presentaciones diversas: lo expuesto en la ventana geométrica y lo anotado en la algebraica se vinculan recíprocamente.

Pueden encontrar descargar el programa así como la documentación completa elaborada en castellano por Liliana Saidon, desde: http://www.geogebra.org/cms/ Pueden crear, compartir y/o seleccionar aplicaciones de entre la variedad que para Matemática y Ciencias encontrarán en los foros y páginas wiki de GeoGebra (hasta se incluyen enlaces a otras direcciones como, entre muchas otras:

http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/index.htm

RECORRIENDO LIBREMENTE EL DISEÑO CON RENOVADOS ÚTILES DINÁMICOS

A lo largo de este artículo, proponemos indagar, a través de algunos ejemplos, sobre el tipo de situaciones que podemos diseñar contando con un soft libre como el GeoGebra, que reúne dinámicamente útiles geométricos, algebraicos y los del análisis.

Esbozado y para terminar de desarrollar

Resumimos, antes de entrar en consideraciones más hondas, un par de simples desafíos con alguna descripción acorde a nuestras experiencias con alumnos y profesores.  Esto se vincula a la discusión sobre contrastes al contar con utilitarios dinámicos, y nos centra en las modificaciones del estudio de contenidos, el estilo de la práctica en clase y la forma de cuestionarse y dar razón de ser a lo que en situación, se re-aprende y co-aprende. 
Al plantear un problema aprovecharemos las facilidades que brinda el utilitario para la...

Certezas… Inconmovibles por lo inmediato de su aplicación, no se ponen en cuestión sea para preservar la convicción sobre su valor universal como para mantener la auto-valoración de las propias creencias súbitas.
No se explora, aparentemente, sino desde la duda, desde la búsqueda, desde la confrontación con otros o con anticipaciones que, son anticipaciones y no declaraciones en tanto haya un propósito que corroborar u otro motivo para el control contra el “medio” (medieu) . No hay control y mucho menos validación, si no hay necesidad de corroborar.
Es en la experimentación en la que deviene medio (que nos requiere adaptación), lo que previamente (desde la certeza) aportaba sólo “objeto de convicción”. Es en la confrontación, de cualquier tipo, que puede aparecer la sorpresa. La reciprocidad dialéctica entre confrontación y medio es tal que incluso lo instaura, la inter-relación con pares o con un docente que pregunta y re-pregunta (no sólo cuando la respuesta no es correcta según reza el más convencional contrato y casi las “buenas costumbres”).

Una pregunta para empezar…

 ¿Cómo harías para encontrar figuras en que uno o más de sus ángulos sumen la misma amplitud que totalizan los restantes?

Sugerimos  empezar por triángulos antes de pasar a cuadriláteros y anticipar alternativas  antes de pasar a explorar si efectivamente siempre lo que proponemos cumple con la condición requerida y si sólo tales tipos de figuras lo logran. Se establece, como intervención interesante, cuestionar cómo se iba a ir monitoreando la consecución de lo que se busca durante la experimentación. Recurrimos a este ejemplo para notar cómo:

• es habitual pasar de respuestas aritméticas a otras más generales, de índole algebraica
• lemas conocidos emergían revitalizados significativamente cuando se rescataban como recursos necesarios en un contexto de resolución
• la serie de preguntas (“¿siempre resulta adecuado este tipo de…?” y “¿sólo resultan adecuadas este tipo de…?”) se propone para ir estableciendo, desde la lógica de las prácticas, la necesidad de encarar actividades para y metamatemáticas (como buscar ejemplos pero, sobre todo, intentar contraejemplos) y matemáticas de mayor nivel de rigor y formalidad (como demostrar, generalizar, establecer el rol posible tanto de los ejemplos como, sobre todo, contraejemplos…)
• solemos apelar a clasificaciones conocidas para ensayar respuestas y, viceversa, una vez que encontramos un conjunto de respuestas de ejemplares que comparten ciertas características, conviene darle entidad, nominación y descripción de propiedades, a esa agrupación, para otorgarle perdurabilidad en nuestra memoria y acceso dentro de nuestro más o menos estructurado repertorio de recursos.

Es interesante solicitar que se establezcan;

• técnicas para establecer triángulos que cumplan con este requerimiento a partir de condiciones de construcción. Partiendo al menos de dos modos diferentes de establecer relaciones entre los elementos en juego (teniendo en cuenta que una de las técnicas deberá presentarse y explicarse para que el diseño de este desafío no descanse en la peregrina chance de una “espontánea” ocurrencia al respecto).
• la confluencia de marcos (geométrico, aritmético, algebraico) que se pone juego a partir de la negociación de la consigna y en resoluciones que pueden ir apareciendo.

Profundicemos en nuestra curiosidad dinámica

- ¿Cómo harían para encontrar el conjunto de triángulos de cierto perímetro, al fijar la longitud de uno de sus lados?

Si lo van llevando dinámicamente a cabo desde un boceto con GeoGebra, notarán que de este desafío pueden surgir ciertas consideraciones de existencia y hasta llevar a que pasemos a reformularnos conocidas “condiciones triangulares”, en este contexto.
Estas consideraciones nos llevan a analizar otras características y ciertos rasgos particulares de los planteos dinámicos. ¿Notaron, por ejemplo, que estas propuestas no incluyen datos o dimensiones de longitud o amplitud y cuando involucran el control de medidas, se centran en relaciones en lugar de considerar valores particulares?

Los invitamos a establecer una formulación más cerrada para este problema o, mejor dicho, para que este desafío cobre la índole más habitual para los problemas

Un utilitario geométrico deviene medio para los estudiantes, cuando sostiene el planteo de un desafío o problema. La situación en tal medio, debiera diseñarse para que las preguntas que eventualmente desencadene lleven a la exploración y/o a la confrontación. 
Los interrogantes que parten de un cómo (que se vinculará en una explicación de para qué), resultan significativos cuando:

• demandan la producción de un resultado determinado apelando a una acción inicialmente tentativa
• la identificación de las maniobras adecuadas para el propósito no es pre-requisito sino, a lo sumo, argumentación para justificar un método frente al grupo.
• requieren anticipaciones explícitas y reflexivas sobre expectativa del resultado de cierta maniobra o acción a emprender, vinculadas a la argumentación inicial (para convencer al grupo de obrar de cierta forma) o en la etapa de refinamiento de un “método” que busca generalizarse.

Al exponer sus suposiciones, los alumnos de cada grupo:

• hacen explícita su interpretación de la situación en la que están trabajando
• manifiestan su “teoría”, previa la construcción adicional de la toma de conciencia
• producen un discurso argumentativo adecuado e inteligible
• toman la posición de “propietarios” de su propia hipótesis que, antes de formular “públicamente” revisarán para no quedar mal parados en una inapelable falsación posterior
• adquieren la responsabilidad de controlar honestamente sus teorías
• quedan a la expectativa de la puesta a prueba de sus teorías hay una motivación grupal para la experimentación.

En síntesis, procurar ejemplos de situaciones suficientemente concretas (bien conectadas con lo que ya se sabe) interesantes y resolubles con los elementos disponibles, con potencial de estimular a que se formulen o acepten interrogantes genuinos, articulen representaciones diferentes del mismo concepto en juego. Aunque suene ambicioso, hay posibilidades, simples… que los invitamos a compartir.

Autora: Liliana Saidón. Responsable del Desarrollo en Castellano de GeoGebra y de su Foro Hispanoparlante. Titular del Seminario Taller de Pedagogía de la Maestría en Planeamiento (UBA). Directora del Centro de Investigación Babbage, instituto de capacitación docente de postgrado de la Red Federal, que surge del encuentro de trayectorias decanas en didáctica, desarrollo y publicación en informática para matemática y ciencias.  www.centrobabbage.com